解释太阳能量来源《张朝阳的物理课》估算太阳(2)

接下来，开始推导Δρ和u的关系。考虑静态时处于(x,x+Δx)的空气“窄片”，横截面积为A，声波过来时，“窄片”两个截面的偏移分别是u(x,t)和u(x+Δx,t)，偏移后的“窄片”质量不变，因此

截面积可以消掉。考虑u(x+Δx,t)的泰勒展开，有

代入前一个式子(消掉A)，并展开可以得到

式中的删除线表示可以消掉或者忽略掉。左边的项和右边第一项互相抵消，由于u对x的偏导远小于1，右边最后一项远小于其他项，因此可以忽略，于是：

根据前面推导的结果，有：

代入前面得到的关于u的方程，就得到了声音在空气中的波动方程：

声速计算要考虑绝热近似 牛顿曾经在这里栽过跟头

得到波动方程之后，张朝阳开始解释如何理解其中P对ρ的偏导数。首先，相对于声波导致的快速压缩和膨胀，空气的热传导过程是非常缓慢的。在空气的一个振动周期里，热的传导几乎可以忽略，因此可以把空气振动导致的压缩和膨胀看成是绝热过程，这就是绝热近似。

张朝阳介绍，牛顿曾经在这里栽过跟头。牛顿当时也得到了声波的波动方程，只不过因为对声音导致的空气压缩膨胀过程认识不足，错误地以为是等温过程。回到正题，在绝热近似下，波动方程中P对ρ的偏导数应该理解为绝热条件下的偏导数。

他进一步解释说，因为这里考虑的声音振幅很小，相对于空气的振动来说，空气微元内恢复平衡的速度非常快，因此可以假设在空间的每一处空气都满足理想气体状态方程。这个近似就是准静态近似。正因为这个近似，这里对声速的推导将不适用于特别稀薄的空气。

在准静态近似下，可以使用理想气体的平衡态性质进行推导。这样就有：

其中U是空气内能，因子5/2来自于能量均分定理。能量均分定理，每个自由度贡献NkT/2的内能，空气中大部分是氮气和氧气，都是双原子分子，具有3个平动自由度和2个转动自由度。在室温下，振动自由度没有被激发。所以一共是5个自由度，故因子为5/2。定义γ使得γ-1=2/5。在这里，γ=7/5=1.4。于是

根据热力学第一定律

在绝热过程中有：

其中C为常数。由于密度和体积呈反比关系，所以P正比于ρ^γ，设比例常数为B，于是在绝热过程下

代入理想气体物态方程可得：

其中m上加一横表示空气的平均分子质量。所以，空气中声波的波动方程为：

在室温20℃，即约293 K，相应的声速为

其中m_m表示空气以g为单位的摩尔质量。这个数值结果与实验测得的声速非常接近。另外，还可以知道声速只与温度有关，而与声音的频率无关。

“这是一个令人震撼的结果。”张朝阳说，波动方程的出发点仅仅是牛顿第二运动定律，再考虑理想气体物态方程，就可以得到与实验值非常接近的计算值，不得不说计算的力量是强大的。

解释太阳能量源于核聚变 估算太阳寿命约为百亿年

在课程后半段的互动环节，有同学提问关于太阳寿命的问题，于是张朝阳对太阳的能量来源以及如何估算太阳寿命进行了解答。

他介绍，太阳内部有一个核心，太阳大部分的质量都集中在核心。核心内部温度非常高，约为1000万开尔文。太阳的能量来源是核心处的核聚变，比如氢聚变成氦。由于氢核带正电，氢核之间存在库仑排斥力，因此存在势垒。但是强相互作用会使得氢核在靠得特别近时会释放能量形成新的原子核，也就是说在库仑势垒之内有一个深势阱。要想发生核聚变，氢核必须突破库仑势垒。静电势大小为

以原子核半径的量级10^(-15)m来估算库仑势垒高度，得到结果约为10^(-13)焦耳。再根据太阳的内核温度，利用kT可以估算内核粒子动能的量级为10^(-16)焦耳，这两个能量差了3个量级。

文章来源：《大学物理》 网址: http://www.dxwlzz.cn/zonghexinwen/2022/0410/953.html